Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein Studium der Wirtschaftswissenschaften beginnen, und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Christian Jaschinski bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten mit und ohne Zahlen und erläutert, was Sie über Algebra und Analysis wissen sollten. Auch Dreisatz und Prozentrechnung kommen nicht zu kurz, und so ist dies für Sie das perfekte Auffrischungsbuch vor dem Studium. Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein Studium der Wirtschaftswissenschaften beginnen, und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Torsten Schreiber bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten mit und ohne Zahlen und erläutert, was Sie über Algebra und Analysis wissen sollten. Auch Exponential- und Logarithmenrechnung kommen nicht zu kurz, und so ist dies für Sie das perfekte Auffrischungsbuch vor dem Studium. Einführung Über dieses Buch 17 Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17 Konventionen in diesem Buch 18 Wie Sie dieses Buch nutzen können 18 Törichte Annahmen über den Leser 19 Wie dieses Buch aufgebaut ist 19 Teil I: Arithmetik die Magie der Mathematik 19 Teil II: Gleichungen die Kunst der Mathematik 20 Teil III: Vektoren die Faszination der Mathematik 20 Teil IV: Grenzwerte die Ränder der Mathematik 20 Teil V: Differentiale die Analyse der Mathematik 21 Teil VI: Integrale die Flächen der Mathematik 21 Teil VII: Mengenlehre der Urknall der Mathematik 21 Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22 Zusatzmaterialien im Internet 22 Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22 Wie es weitergeht 23 Teil I Arithmetik die Magie der Mathematik 25 Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt die Basis der Mathematik 27 Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27 Kommutativgesetz 27 Assoziativgesetz 28 Distributivgesetz 29 Was sind das neutrale und das inverse Element? 31 Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31 Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32 Eine Handvoll S von Schreiber 33 Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37 Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37 Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38 Multiplizieren von Brüchen 39 Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40 Division von Brüchen 40 Wofür braucht man den Kehrwert? 41 Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42 Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45 Der Unterschied zwischen Potenz und Exponential 45 Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46 Hierarchiepyramide nach Schreiber Potenzen 46 Die verschiedenen Arten der Exponenten 48 Natürliche Zahlen 48 Negative ganze Zahlen 50 Rationale Zahlen 50 Potenzen grafisch darstellen 52 Kapitel 4 Summen potenzieren? 55 Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55 Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56 Wurzeln entfernen 57 Konjugiert komplexe Zahl 59 Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalsche Dreieck 60 Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65 Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65 Wenn es steigt 66 Wenn es fällt 67 Exponentielle Funktionen zeichnen 68 Sie betrachten die e-Funktion 70 Kapitel 6 Nach einem Exponenten auflösen 73 Den Logarithmus berechnen können 73 Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74 Hierarchiepyramide nach Schreiber Logarithmen 74 Die Basis des Logarithmus bestimmt den Term 76 Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77 Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80 Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83 Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83 Warum ist Pi dasselbe wie 360 Grad? 85 Den Einheitskreis verstehen lernen 86 Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90 Was machen Sie, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist? 91 Sinussatz 92 Cosinussatz 93 Teil II Gleichungen die Kunst der Mathematik 95 Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen »fast« zu trivial für Sie 97 Methode für eine lineare Gleichung 97 Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99 Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100 Quadratische Ergänzung 103 p q-Formel/Mitternachtsformel 105 Satz von Vieta 107 Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108 Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109 Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113 Eine Ungleichung verstehen 113 Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114 Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118 Betragsungleichung 119 Bruchungleichung 121 Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123 Kapitel 10 Zwei Unbekannte / zwei Gleichungen auch keine Herausforderung! 125 Was suchen Sie grafisch gesehen? 125 Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127 Gleichsetzungsverfahren 127 Einsetzungsverfahren 128 Additionsverfahren 128 Das Eliminationsverfahren nach Gauß kann immer helfen 130 Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132 Teil III Vektoren die Faszination der Mathematik 135 Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137 Was ist eigentlich ein Vektor? 137 Mit Vektoren rechnen 140 Skalares Produkt 141 Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142 Die Länge und den Winkel von Vektoren berechnen 144 Der euklidische Vektorraum 149 Beweis und Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151 Basis 153 Span und Dimension 154 Die Basis transformieren 154 Kapitel 12 Punkt, Gerade und Ebene alles, was Spaß macht 157 Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157 Ortsvektor 157 Richtungsvektor 158 Eine Gerade besteht aus zwei Vektoren 160 Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161 Der Stellungsvektor der senkrechte Nagel einer Ebene 162 Die Definition einer Ebene verstehen 164 Parameterform 164 Parameterfreie Darstellung 165 Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166 Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene geht da noch was? 169 Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169 Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171 Schneidend 172 Windschief 173 Parallel 174 Identisch 175 Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176 Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177 Wie können zwei Ebenen zueinander liegen? 179 Parallelität 179 Identität 180 Schnittgerade 181 Dann sollten Sie mal auf Abstand gehen 182 Punkt Gerade 183 Punkt Ebene 184 Gerade Gerade 184 Gerade/Ebene Ebene 187 Teil IV Grenzwerte die Ränder der Mathematik 191 Kapitel 14 Der Limes mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193 Was ist ein Grenzwert? 193 Nur an bestimmten Stellen lohnt sich die Grenzwertbetrachtung 195 Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198 Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200 Kürzen des Linearfaktors 201 Erweiterung mittels des dritten Binoms 202 Regel von L'Hospital 203 Null mal unendlich kann so ziemlich alles sein 204 Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205 Die sieben Schritte der Grenzwertberechnung 206 Kapitel 15 Asymptoten die grafische Interpretation von Grenzen 209 Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209 Waagerechte Asymptoten 210 Senkrechte Asymptoten 211 Diagonale Asymptoten 212 Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213 Techniken für Asymptoten und Lücken 215 Grafische Darstellung der Ergebnisse 217 Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit die Interpretation des Limes 221 Ein Graph ohne Sprünge ist stetig 221 Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224 Was versteht man unter einer gesplitteten Funktion? 226 Teil V Differentiale die Analyse der Mathematik 229 Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231 Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231 Für reine Potenzterme ableiten nach SchemaF 234 Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235 Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235 Die Welt besteht aus Kettenregeln 237 Potenzfunktionen 238 Exponentialfunktionen 239 Logarithmusfunktionen 241 Trigonometrische Funktionen 243 Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244 Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246 Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251 Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251 Extremstellen 252 Tangentengleichung 254 Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255 Wendestellen 255 Klassifizierung der Extremstellen 257 Extremwertprobleme verstehen und lösen 259 Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262 Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265 Mit sieben Schritten eine Funktion analysieren 265 Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270 Kapitel 20 Sinus/Cosinus Funktionen modulieren und verschieben 273 Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273 In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274 Phasenverschiebung 274 Wertebereichsverschiebung 275 Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276 Amplitudenmodulation 277 Periodenvariation 277 Skizzieren von trigonometrischen Funktionen 278 Teil VI Integrale die Flächen der Mathematik 283 Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderes als die »Aufleitung« 285 Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285 Worin unterscheiden sich die Integrale? 286 Die Stammfunktion bilden und verstehen 288 Potenzterme 288 A3-Verfahren 289 Partielle Integration 292 Integration mittels Substitution 296 Der sichere Weg zum Integral 298 Kapitel 22 Egal welche Fläche, es ist immer ein Integral 301 Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301 Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303 Wie groß ist die Fläche 305 zwischen Funktion und x-Achse 305 zwischen zwei Funktionen 306 Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308 Teil VII Mengenlehre der Urknall der Mathematik 311 Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313 Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313 Mengen einfach definieren und darstellen 315 Eigenschaften 316 Venn-Diagramm 317 Aufzählungen 318 Keine Angst vor den Beziehungen 318 Teilmenge 318 Durchschnittsmenge 320 Vereinigungsmenge 320 Negation 321 Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321 Wofür Gesetze so alles gut sind 322 Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324 Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325 Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329 Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329 Die besondere Rolle des Imaginärteils 331 Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332 Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334 Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334 Teil VIII Der Top-Ten-Teil 337 Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339 Verstehen Sie die Sprache? 339 Haben Sie auch genug trainiert? 339 Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340 Wissen Sie auch, wo was steht? 341 Was haben Sie und was suchen Sie? 341 Gut geschätzt ist halb gewonnen 342 Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342 Kleine Schritte führen sicher zum Ziel 342 Nutzen Sie meine neuen Methoden! 343 Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343 Anhang A: Lösungen 345 Stichwortverzeichnis 397