Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein naturwissenschaftliches Studium beginnen; und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Thoralf Räsch bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten, zeigt, wie man mit Brüchen, Potenzen und Logarithmen rechnet, erläutert komplexe Zahlen, Gleichungen, Vektoren und Matrizen. Er hilft Ihnen, Folgen, Reihen und Funktionen zu verstehen, und unterstützt Sie bei Ihren ersten Schritten in der Geometrie, der Differential- und Integralrechnung. So ist dies das perfekte Auffrischungsbuch vor Ihrem Studium. Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein naturwissenschaftliches Studium beginnen; und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Thoralf Räsch bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten, zeigt, wie man mit Brüchen, Potenzen und Logarithmen rechnet, erläutert komplexe Zahlen, Gleichungen, Vektoren und Matrizen. Er hilft Ihnen, Folgen, Reihen und Funktionen zu verstehen, und unterstützt Sie bei Ihren ersten Schritten in der Geometrie, der Differential- und Integralrechnung. So ist dies das perfekte Auffrischungsbuch vor Ihrem Studium. Über den Autor 9 Danksagung 9 Einleitung 23 Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhereMathematik anhand vieler Beispiele 23 Überall praktische Beispiele 23 Törichte Annahmen über den Leser 24 Konventionen in diesem Buch 24 Wie dieses Buch strukturiert ist 25 Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25 Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen25 Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 25 Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26 Teil V: Differentiation und Integralrechnung 26 Teil VI: Der Top-Ten-Teil 26 Die Symbole in diesem Buch 26 Den modularen Aufbau für sich nutzen 27 Teil I Zahlen und Rechenoperationen 29 Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31 Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31 Eigenschaften der Grundrechenarten 33 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34 Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37 Aus ganz wird rational Bruchrechnung mal anders 37 Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 40 Und plötzlich wird s irrational und real!42 Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 44 Das Summenzeichen 45 Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47 Alles über Mengen 47 Mengen im Supermarkt? 47 Alles, nichts, oder? Spezielle Mengen 48 Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50 Mit Mengen einfach rechnen können 50 Venn-Diagramme 54 Prozentrechnung für den Alltag 56 Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57 Das eigene Heim trotz Provision? 57 Die Bären kommen Sinkende Aktienkurse 57 Bullen im Vormarsch Steigende Kurse 57 Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58 Immer auf die genaue Formulierung achten 58 Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 58 Zinsrechnung zum Verstehen 59 Lohnender Zinsertrag 59 Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 59 Suche nach dem Startkapital 60 Taggenaue Zinsen 60 Kapitalwachstum: Zinseszins 60 Eine feste Anlage für zehn Jahre 61 Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 61 Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62 Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 62 Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 63 Logische Grundlagen 63 Wahre und falsche Aussagen 63 Aussagen verknüpfen 64 Die Mathematik als Sprache erkennen 65 Terme als die Worte im mathematischen Satz 66 Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 66 Mit Quantoren neue Formeln bilden 67 Notwendige und hinreichende Bedingungen 69 Die Unendlichkeit unzählige Welten? 71 Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 71 Jenseits der Zählbarkeit überabzählbareMengen 73 Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 74 Methode 1: Direkter Beweis 75 Methode 2: Indirekter Beweis 75 Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 77 Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 78 Kapitel 4 Grundlagen der Gleichungen und Ungleichungen 81 Gleichungen in Angriff nehmen 81 Ungleichungen in den Griff bekommen 85 Beträge ins Spiel bringen 87 Teil II Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen91 Kapitel 5 Nicht reell aber real die komplexen Zahlen93 Was komplexe Zahlen wirklich sind 93 Komplexe Rechenoperationen 94 Die komplexe Addition 95 Die komplexe Multiplikation 95 Die Konjugierte einer komplexen Zahl 95 Die komplexe Division 96 Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 96 Komplexe quadratische Gleichungen 97 Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 98 Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 99 Der Betrag einer komplexen Zahl 99 Einmal Polarkoordinaten und zurück 100 Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 101 Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 101 Komplexe Potenzen und Wurzeln 102 Anwendungen komplexer Zahlen 104 Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume undlineare Gleichungssysteme 107 Vektoren erleben 107 Vektoren veranschaulichen 109 Mit Vektoren anschaulich rechnen 110 Mit Vektoren rechnen 111 Betrag eines Vektors berechnen 114 Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 115 Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräumebestimmen 117 Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 120 Arten von Linearen Gleichungssystemen 123 Homogene Gleichungssysteme 124 Inhomogene Gleichungssysteme 124 Überbestimmte Gleichungssysteme 125 Unterbestimmte Gleichungssysteme 126 Quadratische Gleichungssysteme 126 Nicht lösbare Gleichungssysteme 127 Graphische Lösungsansätze für LGS 128 Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geradenund Ebenen 129 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 129 Punkte im Raum 129 Parametergleichung für Geraden 130 Zweipunktegleichung für Geraden 132 Parametergleichung für Ebenen 133 Dreipunktegleichung für Ebenen 134 Koordinatengleichung für Ebenen 134 Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 135 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 137 Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 144 Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 147 Was Matrizen eigentlich sind 147 Addition von Matrizen 148 Skalarmultiplikation von Matrizen 149 Multiplikation von Matrizen 149 Matrizen in Produktionsprozessen 150 Transponierte und symmetrische Matrizen 152 Keine Angst vor inversen Matrizen 152 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 153 Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 154 Der Rang von Matrizen 159 Matrizen invertieren in der Praxis 160 Kriterien für die Lösbarkeit von homogenenGleichungssystemen 161 Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenenGleichungssystemen 162 Matrizen und lineare Abbildungen 162 Lineare Abbildungen an Beispielen 163 Matrizen als lineare Abbildungen 164 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte in der Theorie164 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte in der Praxis165 Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 167 Matrizen und ihre Determinanten 169 Determinanten von 2 × 2-Matrizen 169 Determinanten von 3 × 3-Matrizen 169 Determinanten von allgemeinen Matrizen 170 Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 173 Die Cramersche Regel 173 Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 176 Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen177 Kreuzprodukt von Vektoren 178 Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene180 Drehungen in der Ebene 180 Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 183 Spiegelungen in der Ebene 183 Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 185 Teil III Funktionen, Folgen und Reihen 187 Kapitel 9 Was Funktionen sind! 189 Was Funktionen eigentlich sind 189 Graphische Darstellung von Funktionen 191 Polynome einfach verstehen 192 Bruchrechnung: Rationale Funktionen 195 Keine Angst vor der Polynomdivision 196 Rasch wachsende Exponentialfunktionen 198 Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 199 Von Umkehr- und inversen Funktionen 200 Trigonometrische Funktionen 201 Trigonometrische Funktionen zeichnen 202 Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten203 Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 203 Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 207 Grenzwerte einer Funktion verstehen 207 Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 207 Links- und rechtsseitige Grenzwerte 208 Die formale Definition eines Grenzwertes wie erwartet!209 Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 209 Grenzwerte für x gegen unendlich 210 Stetigkeit von Funktionen 211 Einfache Grenzwerte auswerten 214 Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 214 Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 215 Methode 1: Faktorisieren 215 Methode 2: Konjugierte Multiplikation 215 Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 216 Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 216 Grenzwerte bei unendlich auswerten 219 Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 219 Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden220 Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 221 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 221 Folgen aneinanderreihen 221 Reihen summieren 225 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 227 Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendigeBedingung 227 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigenPrüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 228 Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweiseDivergenz 231 Quotienten- und Wurzelkriterium 234 Alternierende Reihen 236 Absolute oder normale Konvergenz das ist die Frage!236 Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 237 Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 240 Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 242 Potenzreihen (er)kennen 242 Konvergenzbereich von Potenzreihen 244 Rechnen Sie mit Potenzreihen 245 Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 246 Teil IV Keine Angst vor Geometrie 249 Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen derGeometrie 251 Geraden, Strahlen und Winkel 251 Winkel an geschnittenen Geraden 254 Strecken in der Ebene 255 Mit den Strahlensätzen rechnen 255 Goldener Schnitt 257 Das allgemeine Dreieck 259 Das gleichschenklige Dreiecke 260 Das gleichseitige Dreieck 261 Das rechtwinklige Dreieck 261 Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 262 Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte 263 Dreiecke und ihr Mittelsenkrechte samt Umkreise 263 Dreiecke und ihre Winkelhalbierende samt Inkreisen 264 Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt 264 Kongruenz von Dreiecken 265 Ähnlichkeit von Dreiecken 267 Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum269 Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zuKreisen 269 Vierecke (er)kennen lernen 269 Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 275 Keine Angst vor Kreisen 277 Geometrische Körper die dreidimensionale Welt281 Die Welt der Prismen 282 Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 284 Zylinder aus Prismen entwickeln 287 Aus Pyramiden werden Kegel 288 Die Kugel schlicht und makellos 289 Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: OptimaleBlechbehälter gesucht! 290 Platonische Körper genießen 292 Teil V Differential- und Integralrechnung für eine Variable295 Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einerVeränderlichen 297 Erste Schritte des Ableitens 297 Steigungen gesucht! 297 Steigung von Geraden 298 Steigungen von Parabeln 300 Der Differenzenquotient 301 Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitungnicht existiert 305 Grundlegende Regeln der Differentiation 307 Die Konstantenregel 307 Die Potenzregel 307 Die Koeffizientenregel 308 Die Summenregel und die kennen Sie schon 308 Trigonometrische Funktionen differenzieren 308 Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren308 Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 310 Die Produktregel 310 Die Quotientenregel 310 Die Kettenregel 310 Implizite Differentiation 314 Logarithmische Differentiation 315 Differentiation von Umkehrfunktionen 315 Keine Angst vor höheren Ableitungen 317 Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte319 Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 319 Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 320 Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 320 Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 321 Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 321 Achtung Nicht auf der Spitze stecken bleiben 321 Halten Sie sich fest nun geht s bergab! 321 Jetzt wird s kritisch an den Punkten! 322 Lokale Extremwerte finden 323 Die kritischen Werte suchen 323 Der Test mit der ersten Ableitung wachsend oder fallend?324 Der Test mit der zweiten Ableitung Krümmungsverhalten! 325 Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervallfinden 326 Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereichfinden 328 Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 330 Die Graphen von Ableitungen jetzt wird gezeichnet!331 Der Zwischenwertsatz Es geht nichts verloren 334 Der Mittelwertsatz Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart!335 Das nützliche Taylorpolynom 337 Die Regel von l Hospital 341 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 342 Kombinieren der Methoden nur Geduld! 342 Kapitel 16 Eindimensionale Integration 345 Flächenberechnung eine Einführung 345 Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 346 Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln350 Stammfunktionen suchen rückwärts Ableiten352 Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 354 Flächenfunktion beschreiben 354 Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- undIntegralrechnung 356 Die erste Version des Hauptsatzes 357 Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung360 Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 361 Kapitel 17 Integrale praktisch lösen Tipps undTricks 365 Stammfunktionen finden Drei grundlegende Techniken365 Umkehrregeln für Stammfunktionen 365 Genial einfach: Raten und Prüfen 366 Die Substitutionsmethode 367 Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen370 Partielle Integration: Teile und Herrsche! 371 Wählen Sie weise! 372 Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 374 Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 374 Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen Tipps und Tricks 377 Integrale mit Sinus und Kosinus 377 Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 377 Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 378 Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade abernicht negativ 378 Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 379 Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 380 Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzendequadratische Faktoren 381 Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratischeFaktoren in höherer Potenz 382 Bonusrunde Der Koeffizientenvergleich 383 Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 384 Grau ist alle Theorie Praktische Integrale! 385 Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 385 Bogenlängen bestimmen 387 Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen389 Teil VI Der Top-Ten-Teil 389 Kapitel 19 Zehn häufig gemachte Fehler im(Stochastik-)Alltag 391 Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegenmuss 391 Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren 392 Falsche Schlussfolgerungen durch Vergleiche ziehen 392 Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden392 Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann 392 An Serien beim Würfeln glauben 393 Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen 393 Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln 393 Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen 394 Und zu guter Letzt: Das Ziegenproblem 394 Kapitel 20 Zehn interessante Ansätze der Physik 397 Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 397 Dopplers Effekte 399 Keplers Planetengesetze 399 Galileis Fallgesetz 399 Newtons Trägheitsgesetz 400 Maxwell und seine Gleichungen 400 Plancks Wirkung 400 Schrödingers Gleichung 401 Heisenbergsche Unschärfe 401 Einsteins E=mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität402 Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie402 Kapitel 21 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen AbschlussIhres Mathekurses 405 Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 405 Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 405 Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 406 Schauen Sie auch in die Bücher 406 Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben406 Gruppenarbeit nicht ausnutzen 406 Lernen Sie nicht nur für die Klausur 407 Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 407 Aus Fehlern lernen 407 Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 408 Zu guter Letzt 408 Stichwortverzeichnis 409